Question

【題目】【2015高考天津，文20】已知函數(shù)

（I）求的單調(diào)區(qū)間;

（II）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有;

（III）若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根且,求證:.

Answer 1

【答案】（I） 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是;（II）見(jiàn)試題解析;（III）見(jiàn)試題解析.

【解析】

（I）由,可得 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是;（II）, ,證明 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, ,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有;（III）設(shè)方程 的根為 ,可得,由在 單調(diào)遞減,得 ,所以 .設(shè)曲線 在原點(diǎn)處的切線為 方程 的根為 ,可得 ,由 在在 單調(diào)遞增,且 ,可得 所以 .

試題解析:（I）由,可得,當(dāng) ,即 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞增;當(dāng) ,即 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞減.所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是.

（II）設(shè) ,則 , 曲線 在點(diǎn)P處的切線方程為 ,即,令 即 則.

由于在 單調(diào)遞減,故在 單調(diào)遞減,又因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),,所以 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, ,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有.

（III）由（II）知 ,設(shè)方程 的根為 ,可得,因?yàn)?/span>在 單調(diào)遞減,又由（II）知 ,所以 .類似的,設(shè)曲線 在原點(diǎn)處的切線為 可得 ,對(duì)任意的,有 即 .設(shè)方程 的根為 ,可得 ,因?yàn)?/span> 在 單調(diào)遞增,且 ,因此, 所以 .