Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）解不等式：

（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得不等式，對任意的及任意銳角都成立，若存在，求出t的取值范圍：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

(1)根據(jù)題意，先求出的解析式，并判斷的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性，即可求解；

(2)法一：通過反證法，先假設(shè)存在正實(shí)數(shù)t，使得該不等式對任意的及任意銳角都成立，化簡原不等式，通過推理論證，與和對任意的及任意銳角，是否矛盾，得出存在，且可求出的取值范圍.

法二：先化簡原不等式，通過換元，構(gòu)造新二次函數(shù)，通過新函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)恒成立問題，即可得出存在，且可求出的取值范圍.

（1），為上的奇函數(shù)

又為R上的增函數(shù)

于是

故原不等式的解集為

（2）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)t，使得該不等式對任意的及任意銳角都成立

原不等式

不等式不可能成立，故

不等式對任意的都成立

故

而

該不等式對任意銳角都成立

所以

令，則

設(shè)，令，

則，而在單調(diào)遞增

故

所以，即

故，又

法二：原不等式

令，

原不等式

時，不成立，也不可能成立

故

令

即恒成立

若方程的，但其兩根和與兩根積都大于0，開口向上

故不可能在上恒成立

所以在上恒成立

對任意銳角恒成立

同法一可得：.