Question

【題目】已知過橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)與坐標(biāo)軸垂直的四條直線圍成的矩形（是第一象限內(nèi)的點(diǎn)）的面積為，且過橢圓的右焦點(diǎn)的傾斜角為的直線過點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）若射線與橢圓的交點(diǎn)分別為．當(dāng)它們的斜率之積為時(shí)，試問的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積為定值．

【解析】

（1）根據(jù)矩形面積、直線斜率和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用弦長公式求得，點(diǎn)到直線公式求得點(diǎn)到直線距離，進(jìn)而表示出；根據(jù)，代入韋達(dá)定理形式化簡可得，代入中化簡得到；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得；綜合兩種情況可知為定值.

（1）由題意得：，，，.

直線的斜率，，

由得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）的面積為定值，理由如下：

設(shè)，，

①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為.

由得：，

則，即，

，，

，

又點(diǎn)到直線的距離，

.

，，

化簡可得：，滿足，

；

②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

且，可設(shè)，，

則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

此時(shí)；

綜上所述：的面積為定值.