Question

A已知函數(shù)是奇函數(shù)，又f（1）=2，f（2）＜3，且f（x）在[1，+∞）上遞增．
（1）求a，b，c的值；
（2）當x＜0時，討論f（x）的單調性．

B已知二次函數(shù)f（x）的圖象開口向下，且對于任意實數(shù)x都有f（2-x）=f（2+x）求不等式：f[（x²+x+）]＜f[（2x²-x+）]的解．

Answer 1

A、解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
故f（x）的定義域關于原點對稱
又f（x）的定義域為 （顯然b≠0，否則f（x）為偶函數(shù)）
∴，即c=0
于是得 ，且 ，
∴
∴，又b∈Z
∴b=1
∴a=1
故a=b=1，c=0，符合f（x）在[1，+∞）上單調遞增
（2）由（1）知 ，
=
①當-1＜x₁＜x₂＜0時，顯然x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）為減函數(shù)
②當x₁＜x₂＜-1時，顯然x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）為增函數(shù)
綜上所述，f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)，在[-1，0）上是減函數(shù)．
B、解：由題意二次函數(shù)f（x）圖象開口向下，
故在對稱軸兩邊的圖象是左降右升
又對于任意實數(shù)x，都有f（2-x）=f（x+2），
故此函數(shù)的對稱軸方程是x=2
由此知，函數(shù)f（x）在（-∞，2]上是增函數(shù)，在（2，+∞）是減函數(shù)，
而x²+x+=（x+）²+≥，2x²-x+=2（x-）²+≥，
∴（x²+x+）≤=2，（2x²-x+）≤=1，
∵f[（x²+x+）]＜f[（2x²-x+）]
∴（x²+x+）＜（2x²-x+），
∴x²+x+＞2x²-x+，解得，
∴不等式的解集為．
分析：A、（1）求三個未知數(shù)，需要三個條件，一是定義域要關于原點對稱，二是f（1）=2，三是f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上單調遞增可解．
（2）用單調性定義來探討，先在給定的區(qū)間上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，在與0比較中出現(xiàn)討論，再進一步細化區(qū)間，確定后即為所求的單調區(qū)間．
B、由題設二次函數(shù)f（x）的圖象開口向下，又對于任意實數(shù)x，都有f（2-x）=f（x+2），知其對稱軸方程為x=2，由二次函數(shù)的這些特征即可研究出其單調性，分析（x²+x+），（2x²-x+）的范圍，利用二次函數(shù)的單調性轉化不等式為（x²+x+）＜（2x²-x+），利用對數(shù)函數(shù)的單調性把不等式轉化為x²+x+＞2x²-x+，解此不等式即可求得結果．
點評：A、此題是中檔題．本題主要考查函數(shù)利用奇偶性和函數(shù)值，單間性來求解析式，在研究單調性中分類討論的思想應用．
B、本題主要考查二次函數(shù)的單調性和對稱性，還考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調性解對數(shù)不等式和一元二次不等式的解法，特別注意對數(shù)不等式的求解時的定義域．