Question

已知函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1），設(shè)函數(shù)g(x)=f(x-

1

2

)+1．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）求g（x）+g（1-x）及g( 0 )+g( 

1

4

 )+g( 

1

2

 )+g( 

3

4

 )+g( 1 )的值；
（3）是否存在正整數(shù)a，使不等式

a •g(n)

g(1-n)

＞n2對(duì)一切n∈N^*都成立，若存在，求出正整數(shù)a的最小值；不存在，說(shuō)明理由；
（4）結(jié)合本題加以推廣：設(shè)F（x）是R上的奇函數(shù)，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)G（x）的解析式；并根據(jù)第（2）小題的結(jié)論，猜測(cè)函數(shù)G（x）滿(mǎn)足的一般性結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）本小題中的由奇函數(shù)的定義可知，只須驗(yàn)證f（-x）=-f（x），由此即可得到正確答案；
（2）由（1）知f（0）=0，所以g(

1

2

)=f(0)+1=1以及g（x）+g（1-x）=2，從而求得g( 0 )+g(

1

4

)+g(

1

2

)+g(

3

4

)+g( 1 )的值；
（3）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在正整數(shù)a，使

a •g(n)

g (1-n)

＞n2對(duì)一切n∈N^*都成立，再利用二項(xiàng)式定理（解法一）或者數(shù)學(xué)歸納法（解法二）進(jìn)行證明，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
（4）如設(shè)F（x）=x³，G（x）=（x-a）³+b等均可，則函數(shù)G（x）滿(mǎn)足的一般性結(jié)論為G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b等．

解答：解：（1）任取x∈R，于是f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，所以f（x）是奇函數(shù)． …（3分）
（2）由（1）知f（0）=0，所以g(

1

2

)=f(0)+1=1，…（4分）
g(x)+g(1-x)=f(x-

1

2

)+f(-x+

1

2

)+2=2．…（6分）g( 0 )+g( 

1

4

 )+g( 

1

2

 )+g( 

3

4

 )+g( 1 )=g( 0 )+g( 1 )+g( 

1

4

 )+g( 

3

4

 )+g( 

1

2

 )=2+2+1=5．
（3）假設(shè)存在正整數(shù)a，使

a •g(n)

g (1-n)

＞n2對(duì)一切n∈N^*都成立．
由g(n)=

2an

an+ a

，g(1-n)=1-g(n)=

2 a

a +an

，得

a •g(n)

g (1-n)

=

a •2an

2 a

=an．…（10分）
當(dāng)a=1和a=2時(shí)，不等式aⁿ＞n²顯然不成立．…（11分）
猜想當(dāng)a≥3時(shí)，aⁿ≥3ⁿ＞n²．…（12分）
下面證明3ⁿ＞n²對(duì)一切n∈N^*都成立：
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然3＞1．
②當(dāng)n≥2時(shí)，3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+2C_n¹+4C_n²+…+C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n+2n（n-1）=2n²+1＞n²成立．（14分）
則3ⁿ＞n²對(duì)一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整數(shù)a=3．…（15分）
證法二：
①當(dāng)n=1時(shí)，3＞1，當(dāng)n=2時(shí)，9＞4，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，3^k＞k²，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，3^k+1=3×3^k＞3k²=k²+k²+k²＞k²+2k+1=（k+1）²，不等式也成立．…（14分）
則3ⁿ＞n²對(duì)一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整數(shù)a=3．…（15分）
（4）如設(shè)F（x）=x³，G（x）=（x-a）³+b等均可．…（16分）
則函數(shù)G（x）滿(mǎn)足的一般性結(jié)論為G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．…（18分）
形如設(shè)G（x）=F（x-a）+b．G（x）滿(mǎn)足的性質(zhì)為：G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．
或G(x)=F( x-

1

2

 )+b則G( 0 )+G( 

1

n

 )+G( 

2

n

 )+G( 

3

n

 )+…+G( 1 )=(n+1)b等…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)綜合題、二項(xiàng)式定理或者數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．