Question

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=|x|與函數(shù)y=(

x

)2表示同一個(gè)函數(shù)；
②已知函數(shù)f（x+1）=x²，則f（e）=e²-1
③已知函數(shù)f（x）=4x²+kx+8在區(qū)間[5，20]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，40]∪[160，+∞）
④已知f（x）、g（x）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，對任意x、y∈R滿足關(guān)系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0時(shí)f（x）•g（x）≠0則函數(shù)f（x）、g（x）都是奇函數(shù)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．0個(gè)

Answer 1

分析：①由函數(shù)y=|x|和函數(shù)y=(

x

)2的定義域不同，知函數(shù)y=|x|與函數(shù)y=(

x

)2不是同一個(gè)函數(shù)；
②由函數(shù)f（x+1）=x²，設(shè)x+1=e，則x=e-1，知f（e）=（e-1）²；
③由函數(shù)f（x）=4x²+kx+8的對稱軸為x=-

k

8

，在區(qū)間[5，20]上具有單調(diào)性，能推導(dǎo)出k≥40，或k≤160；
④分別判斷f（x），g（x）的奇偶性，即可判斷④的正誤．

解答：解：①∵函數(shù)y=|x|的定義域是R，
函數(shù)y=(

x

)2的定義域是{x|x≥0}，
∴函數(shù)y=|x|與函數(shù)y=(

x

)2不是同一個(gè)函數(shù)，故①錯(cuò)誤；
②∵函數(shù)f（x+1）=x²，
設(shè)x+1=e，則x=e-1，
∴f（e）=（e-1）²，故②錯(cuò)誤；
③∵函數(shù)f（x）=4x²+kx+8的對稱軸為x=-

k

8

，
在區(qū)間[5，20]上具有單調(diào)性，
∴-

k

8

≤5，或-

k

8

≥20，
解得k≥40，或k≤160，故③錯(cuò)誤；
④令x=0，有f（-y）+f（y）=0，f（-y）=-f（y）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∵x≠0時(shí)，f（x）•g（x）≠0，
∴g（-y）=

f(x+y)+f(x-y)

2f(x)

=g（y），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，故④錯(cuò)誤．
故選D．

點(diǎn)評：考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法，難點(diǎn)在于綜合考察函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，零點(diǎn)與最值，考察點(diǎn)跨度大，難度大，屬于難題．