Question

存在兩條直線x=±m(xù)與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）相交于四點(diǎn)A，B，C，D，且四邊形ABCD為正方形，則雙曲線的離心率的取值范圍為

（

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，雙曲線與直線y=±x相交且有四個(gè)交點(diǎn)，由此得

b

a

＞1，結(jié)合雙曲線的基本量的平方關(guān)系和離心率的定義，化簡(jiǎn)整理即得該雙曲線的離心率的取值范圍．

解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴對(duì)角線AC、BD所在直線是各象限的角平分線
因此，直線y=±x與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1有四個(gè)交點(diǎn)
∴雙曲線的漸近線y=±

b

a

x，滿足

b

a

＞1，
即b＞a，平方得：b²＞a²，c²-a²＞a²，可得c²＞2a²，
兩邊都除以a²，得

c2

a2

＞2，即e²＞2，
∴e＞

2

，即雙曲線的離心率的取值范圍是（

2

，+∞）
故答案為：（

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線上四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成以原點(diǎn)為中心的正方形，求它的離心率取值范圍，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．