Question

【題目】若函數(shù)的圖像與的圖像交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）證明：

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）設(shè)，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)的取值范圍，求，求出單調(diào)區(qū)間，確定極值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可求解；

（2）將所證的不等式用表示，，再令，轉(zhuǎn)化為證明 ，再等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，，利用求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可證明不等式.

（1）設(shè)，

題意即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.

當(dāng)時(shí)，令，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以時(shí)，取得極小值，

也是最小值為

若即，則至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.

若即，則由，

知在存在一個(gè)零點(diǎn)，

又.

設(shè)在上恒成立，

，所以.

所以在存在一個(gè)零點(diǎn)，

從而有個(gè)兩個(gè)不同零點(diǎn)，滿足題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）要證只要證

只需證

不妨設(shè)，即證

要證，只需證，

設(shè)，則

所以在上為增函數(shù)，

從而，即成立.

要證，只需證

設(shè).則

所以在上為減函數(shù)，從而，

即中上成立，

所以成立，即.