Question

如圖所示的幾何體中，四邊形BB₁C₁C是矩形，BB₁⊥平面ABC，CA=CB，A₁B₁∥AB，AB=2A₁B₁，E，F(xiàn)分別是AB，AC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求證：C₁A₁⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接BC₁，利用E、F分別是AB，AC₁的中點(diǎn)，判斷出EF∥BC₁，利用線面平行定理證明出 EF∥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）連結(jié)A₁E，CE，依據(jù)BB₁⊥平面ABC，BB₁?平面A₁ABB₁，利用面面垂直定理，判斷出平面A₁ABB₁⊥平面ABC，根據(jù)CA=CB，E是AB的中點(diǎn)，判斷出CE⊥AB進(jìn)而判斷CE⊥平面A₁ABB₁，利用B₁A₁∥BA，B1A1=

1

2

BA=BE判斷出四邊形A₁EBB₁為平行四邊形，推斷出 BB1

∥ .

.

A1E，進(jìn)而推斷出∴A1E

∥ .

.

CC1，證明出四邊形A₁ECC₁為平行四邊形，進(jìn)而推斷出C₁A₁∥CE，再根據(jù)CE⊥平面A₁ABB₁，證明出C₁A₁⊥平面ABB₁A₁．

解答： 證明：（Ⅰ）連接BC₁，
∵E、F分別是AB，AC₁的中點(diǎn)，
∴EF∥BC₁．
又∵EF?平面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C，
∴EF∥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）連結(jié)A₁E，CE．
∵BB₁⊥平面ABC，BB₁?平面A₁ABB₁，
∴平面A₁ABB₁⊥平面ABC
∵CA=CB，E是AB的中點(diǎn)，
∴CE⊥AB
∴CE⊥平面A₁ABB₁．  
∵B₁A₁∥BA，B1A1=

1

2

BA=BE
∴四邊形A₁EBB₁為平行四邊形，
∴BB1

∥ .

.

A1E．
又 BB1

∥ .

.

CC1，
∴A1E

∥ .

.

CC1，
∴四邊形A₁ECC₁為平行四邊形，
∴C₁A₁∥CE．
∴C₁A₁⊥平面ABB₁A₁．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定．要求學(xué)生對(duì)判定定理熟練記憶．