Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)，，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，對恒成立，求的取值范圍.（為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對分、兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由題意可知對恒成立，取可得，由可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1），，則，

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得.

此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）由可得對恒成立，

取，可得，

因，則，，

則，，，

設(shè)，，

令，可得或.

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在上遞減，在上遞增，在上遞減.

所以，所以.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.