Question

甲、乙兩地相距300千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時．已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比，且比例系數(shù)為0.02；固定部分為200元．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？全程運輸成本最小是多少？

Answer 1

（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為

300

v

，全程運輸成本為y=200×

300

v

+0.02v2×

300

v

=6(

10000

v

+v)…3分
故所求函數(shù)及其定義域為y=6(

10000

v

+v)，v∈（0，c]…4分
（2）依題意，有

10000

v

+v≥200．
當且僅當

10000

v

=v，即v=100時上式中等號成立．
而v∈（0，c]，所以
當v=100∈（0，c]，c≥100時，

10000

v

+v取最小值
所以ymin=6(

10000

v

+v)≥1200
也即當v=100時，全程運輸成本y最小達到1200元．…8分
當v=100?（0，c]，即c＜100時，
取v=c，y=6(

10000

v

+v)達到最小值，即ymin=6(

10000

c

+c)
也即當v=c時，全程運輸成本y最小達到6(

10000

c

+c)元．（…12分）
綜上知，為使全程運輸成本y最小，當c≥100時行駛速度應為100，此時運輸成本為1200元；當c＜100時行駛速度應為v=c，此時運輸成本為6(

10000

c

+c)．…12分．