Question

甲乙兩地相距300千米，一汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)a千米/小時(shí)，已知該汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本P（元）關(guān)于速度v（千米/小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系是P=

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v．
（1）試將全程運(yùn)輸成本Q（元）表示為速度v的函數(shù)；
（2）為使全程運(yùn)輸成本最少，汽車(chē)應(yīng)以多少速度行駛？并求此時(shí)運(yùn)輸成本的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)每小時(shí)的運(yùn)輸成本P關(guān)于v的解析式，則全程運(yùn)輸成本只需要求出全程用的時(shí)間即可，根據(jù)時(shí)間=

路程

速度

，求出時(shí)間，從而求得全程運(yùn)輸成本Q（元）表示為速度v的函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）所求的解析式，求出Q的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性確定極小值即最小值，從而得到答案．

解答：解：（1）∵時(shí)間=

路程

速度

，
∴全程用的時(shí)間t=

300

v

小時(shí)，
∵該汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本P（元）關(guān)于速度v（千米/小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系是P=

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v，
∴全程運(yùn)輸成本Q=P•t=（

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v）•

300

v

=300（

1

19200

v³-

1

160

v²+15），0＜v≤a，
∴全程運(yùn)輸成本Q（元）表示為速度v的函數(shù)為Q=300（

1

19200

v³-

1

160

v²+15），0＜v≤a；
（2）由（1）可知，運(yùn)輸成本Q=300（

1

19200

v³-

1

160

v²+15），0＜v≤a，
∴Q′=(

3

19200

v2-

2

160

v)•300=

3v(v-80)

64

，
令Q′=0，解得v=0（舍去）或v=80，
當(dāng)0＜v＜80時(shí)，Q′＜0，當(dāng)v＞80時(shí)，Q′＞0，
①當(dāng)a≥80時(shí)，Q在（0，80）上單調(diào)遞減，在（80，a）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)v=80時(shí)，Q取得極小值即最小值Q（80）=500；
②當(dāng)a＜80時(shí)，Q在（0，a]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)v=a時(shí)，Q取得最小值Q（a）=

a3

64

-

15a2

8

+4500．
綜合①②可得，當(dāng)a≥80時(shí)，為使全程運(yùn)輸成本最少，汽車(chē)應(yīng)以80千米/小時(shí)行駛，此時(shí)運(yùn)輸成本的最小值為500元，
當(dāng)a＜80時(shí)，為使全程運(yùn)輸成本最少，汽車(chē)應(yīng)以a千米/小時(shí)行駛，此時(shí)運(yùn)輸成本的最小值為

a3

64

-

15a2

8

+4500元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值問(wèn)題．解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題建立數(shù)學(xué)模型后，應(yīng)用了導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，然后求出跟對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．屬于中檔題．