Question

已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC.

(1)求證：BE∥平面PDA；
(2)若N為線段PB的中點(diǎn)，求證：NE⊥平面PDB.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，
∴EC∥平面PDA，
同理可得BC∥平面PDA.
∵EC?平面EBC，BC?平面BEC且EC∩BC＝C，
∴平面BEC∥平面PDA.
又∵BE?平面BEC，∴BE∥平面PDA.

(2)連接AC，交BD于點(diǎn)F，連接NF，
∵F為BD的中點(diǎn)，
∴NF∥PD且NF＝PD，
又EC∥PD且EC＝PD，
∴NF∥EC且NF＝EC.
∴四邊形NFCE為平行四邊形，
∴NE∥FC，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD，
又DB⊥AC，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB，
∴NE⊥平面PDB.