Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)在第一象限，且直線互相垂直，求圓的方程；

（2）若直線的斜率存在，并記為，求的值；

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓中的定值問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力. 第一問，利用圓的半徑、直線與圓相切，得到，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，解出，從而得到圓的方程；第二問，由于直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑得到，再根據(jù)解出的值；

試題解析：（1）由圓的方程知圓的半徑，因?yàn)橹本�互相垂直，且和圓相切，所以，即

①

又點(diǎn)在橢圓上，所以 ②

聯(lián)立①②，解得，

所以，所求圓的方程為

．

（2）因?yàn)橹本�和都與圓相切，所以，，

化簡得，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，

所以．