Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝|x－a|－x(a＞0)．

(1)若a＝3，解關于x的不等式f(x)＜0；

(2)若對于任意的實數(shù)x，不等式f(x)－f(x＋a)＜a2＋恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）{x|2＜x＜6}（2）(1，＋∞)

【解析】試題分析：（Ⅰ）將a的值帶入f（x），原不等式等價于﹣x＜x－3＜x，解之即可；

（Ⅱ）求出f（x）=|x﹣a|﹣|x|+，原問題等價于|a|＜a2，求出a的范圍即可．

試題解析：

(1)當a＝3時，f(x)＝|x－3|－x，即|x－3|－x＜0，原不等式等價于－＜x－3＜，解得2＜x＜6，故不等式的解集為{x|2＜x＜6}．

(2)f(x)－f(x＋a)＝|x－a|－|x|＋，

原不等式等價于|x－a|－|x|＜a2，

由絕對值三角不等式的性質，

得|x－a|－|x|≤|(x－a)－x|＝|a|，

原不等式等價于|a|＜a2，

又a＞0，∴a＜a2，解得a＞1.

∴實數(shù)a的取值范圍為(1，＋∞)．