Question

【題目】已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,1)，N(2,2).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離為，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】(1) ＝1,(2) x－y－1＝0

【解析】

（1）設(shè)橢圓的方程為，由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，利用待定系數(shù)法即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線方程為：，聯(lián)立，得，由點(diǎn)到直線的距離公式即可得到直線的方程.

(1)設(shè)橢圓C的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由題意得 解得

∴橢圓C的方程為 ＝1.

(2)由題意可設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，將其代入橢圓方程,

得5x2＋8mx＋4m2－20＝0.

則Δ＝(8m)2－4×5(4m2－20)＝－16m2＋400＞0，

∴－5＜m＜5.

又點(diǎn)M(4,1)到直線l的距離為

∴m＝－1或m＝－5(舍去).

∴直線l的方程為x－y－1＝0.