Question

【題目】已知方程的曲線是圓．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的值；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）實(shí)數(shù)的值等于（3）四邊形面積的最小值為

【解析】

（1）圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；

（2）聯(lián)立直線與圓方程，消元整理為一元二次方程，進(jìn)一步根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量垂直的充要條件，即可求解；

（3）為圓的半徑），要求四邊形面積的最小值，只需求出長(zhǎng)最小，即可求解.

（1）解：由，

得．

由解得．

所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（2）解：聯(lián)立，

得．

由，解得．

設(shè)，則，

，

且，

即．

因?yàn)?/span>，則得，

所以①

代入①得，

解得，符合題意．

所以所求實(shí)數(shù)的值等于．

（3）解法一：當(dāng)時(shí)，圓的方程為，

即，所以圓的圓心坐標(biāo)是，半徑是．

由于、為圓的兩條切線，

所以．

又，

而的最小值為點(diǎn)到直線的距離．

因?yàn)?/span>，所以．

因此四邊形面積的最小值是．

解法二：當(dāng)時(shí)，圓的方程是，

即，所以圓的圓心坐標(biāo)是，半徑是．

由于、為圓的兩條切線，

所以．

又．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，

所以，即，

即，即．

當(dāng)，時(shí)，．

所以．

因此四邊形面積的最小值為