Question

設關于x的不等式x|x-a|-b＜0的解集為P．
（1）當a=2，b=3時，求集合P；
（2）若a=1，且P={x|x＜-1}，求實數(shù)b的值．

Answer 1

分析：（1）把a=2，b=3代入已知，然后化不等式為不等式組，解之可得；
（2）方法1 把a=1代入可得f（x）的解析式，作函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結合可得；
方法2 同樣把a=1代入可得不等式為x|x-1|-b＜0，分類討論可得．

解答：解：（1）當a=2，b=3時，原不等式為：x|x-2|-3＜0．…（2分）
當x≥2時，x²-2x-3＜0，即

x≥2，              x2-2x-3＜0

解得2≤x＜3；    …（4分）
當x＜2時，-x²+2x-3＜0，即

x＜2，              x2-2x+3＞0

解得 x＜2．…（6分）
所以，P=（-∞，3）．…（7分）
（2）方法1 當a=1時，令f（x）=x|x-1|=

-x2+x，  x≤1 x2-x，    x＞1

…（9分）
作函數(shù)f（x）的圖象（如圖）．
當x＜-1，f（x）的值域為（-∞，-2），…（11分）
當x≥-1，f（x）的值域為[-2，+∞）．…（13分）
所以，當不等式的解集為P={x|x＜-1}時，b=-2．…（14分）
方法2  當a=1時，不等式為x|x-1|-b＜0．…（8分）
若x≥1，不等式的解集不可能是P={x|x＜-1}； …（10分）
若x＜1，不等式為x（1-x）-b＜0，即x²-x+b＞0，…（11分）
由題意知x＜-1?

x＜1，                                        x＜ 1- 1-4b 2 或x＞ 1+ 1-4b 2

…（13分）
于是有

1- 1-4b

2

=-1，解得b=-2．…14 分

點評：本題考查絕對值不等式的解法，涉及一元二次不等式的解法，以及函數(shù)的圖象和分類討論的思想，屬中檔題．