已知
，
，
．
（1）當(dāng)
時(shí)，試比較
與
的大小關(guān)系；
（2）猜想與的大小關(guān)系，并給出證明．
（1）
，
，
；（2）猜想：對(duì)一切，
，證明詳見解析.
解析試題分析：（1）由
的公式分別計(jì)算出
時(shí)的及
的值，進(jìn)而可得比較它們的大小關(guān)系；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，由（1）可知，
時(shí)，不等式顯然成立，接著假設(shè)
時(shí)不等式成立，進(jìn)而只須證明
時(shí)不等式也成立即可，在證明時(shí)，又只須將
變形為
，之后只須用比較法比較判斷
與
大小，即可證明本題.
（1） 當(dāng)
時(shí)，
，
，所以 1分
當(dāng)
時(shí)，
，
，所以 2分
當(dāng)
時(shí)，
，
，所以 4分
（2） 由（１），猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明 6分
①當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立 7分
②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即
9分
那么，當(dāng)時(shí)， 
11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e4/3/btgl7.png" style="vertical-align:middle;" /> 14分
所以
15分
由①、②可知，對(duì)一切，都有成立 16分.
考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
（設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，且滿足
．
（1）求
，
，
，
的值并寫出其通項(xiàng)公式；
（2）用三段論證明數(shù)列是等比數(shù)列．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)
是一個(gè)自然數(shù)，
是的各位數(shù)字的平方和，定義數(shù)列
：
是自然數(shù)，
（
，
）．
（1）求
，
；
（2）若
，求證：
；
（3）求證：存在
，使得
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在數(shù)列
中，已知
，
，
(
，
)．
（1）當(dāng)
，
時(shí)，分別求
的值，判斷
是否為定值，并給出證明；
（2）求出所有的正整數(shù)
，使得
為完全平方數(shù)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)數(shù)列{an}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)
，即當(dāng)
(k∈N*)時(shí)，an＝(－1)k－1k，記Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)以下四個(gè)不等式都是正確的：
；
；
；
．
請(qǐng)你觀察這四個(gè)不等式：
（1）猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論（用字母表示）；
（2）證明你的結(jié)論．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題
在平面幾何里，有：“若
的三邊長分別為
內(nèi)切圓半徑為
，則三角形面積為
”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體
的四個(gè)面的面積分別為
內(nèi)切球的半徑為，則四面體的體積為 ”
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，且
，求證：
，考查
；
；
．
都成立的類似不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．