Question

如圖，一水渠的橫斷面是拋物線形，O是拋物線的頂點(diǎn)，口寬EF=4米，高3米
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線方程．
（2）現(xiàn)將水渠橫斷面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不變，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大時(shí)，所挖的土最少？

Answer 1

（1）如圖以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為X軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則F（2，3），設(shè)拋物線的方程是x²=2py（p＞0）
因?yàn)辄c(diǎn)F在拋物線上，所以4=2p×3，p=

2

3

所以拋物線的方程是x2=

4

3

y（5分）
（2）等腰梯形ABCD中，AB∥CD，線段AB的中點(diǎn)O是拋物線的頂點(diǎn)，AD，AB，BC分別與拋物線切于點(diǎn)M，O，N
y'=

3

2

x，設(shè)N（x₀，y₀），x₀＞0，，
則拋物線在N處的切線方程是y-y₀=

3

2

x0(x-x0)，所以B(

1

2

x0，0)C(

4+x02

2x0

，3)，（10分）
梯形ABCD的面積是S=

1

2

(x0+

4+x02

2x0

)×3=

3

2

(2x0+

4

x0

)=3(x0+

2

x0

)≥6

2

，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x0=

2

時(shí)成立，
答：梯形ABCD的下底AB=

2

米時(shí)，所挖的土最少（12分）