Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁＝1，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)(a_n＋1，S_n)在直線3x＋2y－3＝0上．
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）^n－1（2）存在實(shí)數(shù)λ＝

(1)由題意可得3a_n＋1＋2S_n－3＝0，①
n≥2時(shí)，3a_n＋2S_n－1－3＝0，②
①－②得3a_n＋1－3a_n＋2a_n＝0，∴＝ (n≥2)，
a₁＝1,3a₂＋a₁－3＝0，∴a₂＝，∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，∴a_n＝^n－1.
(2)由(1)知：S_n＝
若為等差數(shù)列，則S₁＋λ·1＋，S₂＋λ·2＋，S₃＋λ·3＋成等差數(shù)列，
∴2＝S₁＋λ＋S₃＋λ，解得λ＝.
又λ＝時(shí)，S_n＋·n＋＝，顯然成等差數(shù)列，故存在實(shí)數(shù)λ＝，使得數(shù)列成等差數(shù)列