Question

如圖，在直三棱柱ABC-中，，D，E分別為BC，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明：連結(jié)，與交于O點(diǎn)，連結(jié)OD.
因?yàn)镺，D分別為和BC的中點(diǎn)，
所以O(shè)D//。
又OD， ，
所以.…………………………4分
（2）證明：在直三棱柱中，
，
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193158800329.gif" style="vertical-align:middle;" />為BC中點(diǎn)，
所以又，
所以.
又
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193158270297.gif" style="vertical-align:middle;" />為正方形，D，E分別為BC，的中點(diǎn)，
所以.
所以.     所以


（3）解：如圖，以的中點(diǎn)G為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，6，4），E（3，3，0） ，C（-3，6，0） ，.
由（Ⅱ）知為平面的一個(gè)法向量。
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

由
令，則.
所以.
從而.
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193158363313.gif" style="vertical-align:middle;" />為銳角，
所以二面角的余弦值為

略