Question

如圖，在三棱錐中，,,為的中點(diǎn)，,=.

（1）求證：平面⊥平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）見解析；（2）.

試題分析：（1）欲證面面垂直，應(yīng)先證線線垂直、線面垂直.注意到在中的邊長關(guān)系，應(yīng)用勾股定理逆定理可得為直角三角形，．
又，且是的中點(diǎn)，可得，從而證得平面，即證得
平面平面．
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用“向量法”求解.
確定平面的一個法向量為，
根據(jù)，得到直線與平面所成角的正弦值為．
試題解析：（1）證明：在中，，
，

，
則為直角三角形，
所以，．
又由已知，
且是的中點(diǎn)，可得
又，
平面
又面
平面平面．（6分）
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖
所示直角坐標(biāo)系，
則，
．
設(shè)平面的法向量為，則有
即
解得：，
所以，平面的一個法向量為，
，
故直線與平面所成角的正弦值為．（12分）