Question

設(shè)z1是虛數(shù)，z2=z1+

1

z1

是實(shí)數(shù)，且-1≤z2≤1
（1）求|z₁|的值以及z₁的實(shí)部的取值范圍；
（2）若ω=

1-z1

1+z1

，求證：ω為純虛數(shù)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出復(fù)數(shù)，根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)之間的關(guān)系，寫出z₂的表示式，根據(jù)這是一個(gè)實(shí)數(shù)，得到這個(gè)復(fù)數(shù)，根據(jù)條件中所給的取值范圍，得到要求的a的取值．
（2）根據(jù)上一問設(shè)出的復(fù)數(shù)，表示出ω，進(jìn)行復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理變化，得到最簡(jiǎn)形式，得到這是一個(gè)純虛數(shù)．

解答：解：（1）設(shè)z₁=a+bi（a，b∈R，且b≠0），
則z2=z1+

1

z1

=a+bi+

1

a+bi

=(a+

a

a2+b2

)+(b-

b

a2+b2

)i
∵z₂是實(shí)數(shù)，b≠0，
∴有a²+b²=1，即|z₁|=1，
∴可得z₂=2a，
由-1≤z₂≤1，得-1≤2a≤1，
解得-

1

2

≤a≤

1

2

，
即z₁的實(shí)部的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．
（2）ω=

1-z1

1+z1

=

1-a-bi

1+a+bi

=

1-a2-b2-2bi

(1+a)2+b2

=-

b

a+1

i
∵a∈[-

1

2

，

1

2

]，b≠0，
∴ω為純虛數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，是一個(gè)綜合題，解題時(shí)的運(yùn)算量比較大，又用到復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，注意解題時(shí)的格式．