Question

（本題滿(mǎn)分12分）
已知函數(shù)（）．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；
（2）當(dāng)函數(shù)在單調(diào)時(shí)，求的取值范圍；
（3）求函數(shù)既有極大值又有極小值的充要條件。

Answer 1

（1）函數(shù)在最大值是，函數(shù)在上的最小值為。
（2）的取值范圍是。
（3）函數(shù)既有極大值又有極小值的充要條件。

（1）時(shí)，，
函數(shù)在區(qū)間僅有極大值點(diǎn)，故這個(gè)極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，
故函數(shù)在最大值是，
又，故，
故函數(shù)在上的最小值為。   ……………4分
（2），令，則，
則函數(shù)在遞減，在遞增，由，，
，故函數(shù)在的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161736017555.gif" style="vertical-align:middle;" />。
若在恒成立，即在恒成立，
只要，若要在在恒成立，即在恒成立，
只要。即的取值范圍是。 ……………8分
（3）若既有極大值又有極小值，則首先必須有兩個(gè)不同正根，
即 有兩個(gè)不同正根。
故應(yīng)滿(mǎn)足，
∴當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等的正根，不妨設(shè)，
由知：時(shí)，時(shí)，時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)既有極大值又有極小值．
反之，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的正根，
故函數(shù)既有極大值又有極小值的充要條件。  ……………12分