Question

【題目】已知函數(shù)，，.

(1)求的極值；

(2)若對任意的，當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

(3)若函數(shù)恰有兩個不相等的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)的極小值為，無極大值；(2)；(3) .

【解析】

(1)求出，判斷其符號，得出的單調(diào)性即可

(2)將變形為，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在恒成立即可

(3)求出，然后分四種情況討論

(1)，令，得.

列表如下：

		1
	－	0	＋
		極小值

∵，∴的極小值為，無極大值.

(2)∵，由(1)可知

等價于，

即.

設(shè)，則在為增函數(shù).

∴在恒成立.

∴恒成立.

設(shè)，∵在上恒成立

∴為增函數(shù).

∴在上的最小值為.

∴，∴的最大值為.

(3)

①當(dāng)時，當(dāng)和時，，單調(diào)遞增

當(dāng)時，，單調(diào)遞減

所以的極大值為

所以函數(shù)至多一個零點(diǎn)

②當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.

③當(dāng)時，當(dāng)和時，，單調(diào)遞增

當(dāng)時，，單調(diào)遞減

所以的極大值為

的極小值為

所以函數(shù)至多有一個零點(diǎn).

④當(dāng)時，當(dāng)，，單調(diào)遞增

當(dāng)時，，單調(diào)遞減

所以

Ⅰ：當(dāng)時，即時，函數(shù)至多一個零點(diǎn).

Ⅱ：當(dāng)時，

所以存在，

所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn).

又

所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn).

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.