Question

已知的三個頂點，，，其外接圓為．
(1)若直線過點，且被截得的弦長為2，求直線的方程；
(2)對于線段上的任意一點，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點，使得點是線段的中點，求的半徑的取值范圍．

Answer 1

（1）或；（2）.

試題分析：（1）求的外接圓方程可用待定系數(shù)法或利用兩邊垂直平分線的交點先求出圓心，再利用兩點之間距離公式求出半徑，求出圓的方程后再利用待定系數(shù)法求出直線的方程，此時要注意分直線斜率存在和不存在兩種情況討論；（2）可設出點的坐標，再把點的坐標用其表示，把點的坐標代入圓的方程，利用方程組恒有解去考察半徑的取值范圍，但要注意三點不能重合，即圓和線段無公共點.
試題解析：(1)線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，所以外接圓圓心，半徑，的方程為．      4分
設圓心到直線的距離為，因為直線被截得的弦長為2，所以．
當直線垂直于軸時，顯然符合題意，即為所求；          6分
當直線不垂直于軸時，設直線方程為，則，解得，
綜上，直線的方程為或．                8分
(2) 直線的方程為，設，
因為點是點，的中點，所以，又都在半徑為的上，
所以即     10分
因為該關于的方程組有解，即以為圓心為半徑的圓與以為圓心為半徑的圓有公共點，所以，  12分
又，所以對]成立．
而在[0，1]上的值域為[，10]，故且． 15分
又線段與圓無公共點，所以對成立，即.故的半徑的取值范圍為．             16分