Question

【題目】函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣3，定義數(shù)列{ xn}如下：x1=2，xn+1是過兩點P（4，5），Qn（ xn ， f（xn））的直線PQn與x軸交點的橫坐標．
（1）證明：2≤xn＜xn+1＜3；
（2）求數(shù)列{ xn}的通項公式．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①n=1時，x1=2，直線PQ1的方程為

當y=0時，∴ ，∴2≤x1＜x2＜3；

②假設n=k時，結論成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直線PQk+1的方程為

當y=0時，∴

∵2≤xk＜xk+1＜3，∴

∴xk+1＜xk+2∴2≤xk+1＜xk+2＜3

即n=k+1時，結論成立

由①②可知：2≤xn＜xn+1＜3；

（2）

解：由（1），可得

設bn=xn﹣3，∴

∴

∴ 是以﹣ 為首項，5為公比的等比數(shù)列

∴

∴

∴ ．

【解析】（1）用數(shù)學歸納法證明：①n=1時，x1=2，直線PQ1的方程為 ，當y=0時，可得 ；②假設n=k時，結論成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直線PQk+1的方程為 ，當y=0時，可得 ，根據(jù)歸納假設2≤xk＜xk+1＜3，可以證明2≤xk+1＜xk+2＜3，從而結論成立．（2）由（1），可得 ，構造bn=xn﹣3，可得 是以﹣ 為首項，5為公比的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{ xn}的通項公式．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數(shù)列的通項公式(如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式)．