Question

（文）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn) E在線段PC上，設(shè)

PE

EC

=λ，PA=AB．
（I） 證明：BD⊥PC；
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，平面BDE分此棱錐為兩部分，求這兩部分的體積比．

Answer 1

分析：（I）里面線面垂直的性質(zhì)證明BD⊥PC；
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，確定E的位置，然后根據(jù)椎體的體積公式進(jìn)行求體積比．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，
又底面ABCD為正方形，所以AC⊥BD，
因?yàn)镻A∩AC=A，所以BD⊥面PAC，
因?yàn)镻C?面PAC，
所以BD⊥PC．
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，

PE

EC

=1，即E是PC的中點(diǎn)．
設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，連結(jié)OE，
則OE∥PA，所以O(shè)E是三棱錐E-BCD的高，且OE=

1

2

PA．
設(shè)PA=AB=1，則OE=

1

2

，
所以三棱錐E-BCD的體積為

1

3

×

1

2

×1×

1

2

=

1

12

，四棱錐V-ABCD的體積為

1

3

×1×1=

1

3

，
所以剩余部分的體積為

1

3

-

1

12

=

1

4

，
所以兩部分的體積比

1

4

：

1

12

=3：1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直的判斷和性質(zhì)，以及錐體的體積公式．