Question

已知函數(shù)．

（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，求在上的最大值；

（3）試證明：對(duì)，不等式恒成立．

Answer 1

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）當(dāng)時(shí),＝；

當(dāng)時(shí)，＝；

當(dāng)時(shí)，.

(3)證明略.

解析:

（１）∵，令得

∴，∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值；

（２）由（１）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

故①當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴＝.

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，∴＝

③當(dāng)，即時(shí)，

（３）由（1）知當(dāng)時(shí)，

∴在上恒有，即且僅當(dāng)時(shí)“＝”成立

∴對(duì)任意的恒有

∵且∴

即對(duì)，不等式恒成立．