Question

【題目】定義：在平面內(nèi)，點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)到曲線的距離，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓： 及點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到圓的距離與到點(diǎn)的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過原點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸重合）與曲線交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，且，直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由點(diǎn)到曲線的距離的定義可知， 到圓的距離，所以，所以有，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，從而可求出橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè),則,則直線的斜率為，由可得直線的斜率是，記，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理用表示與即可得到結(jié)論.

試題解析： （Ⅰ）由分析知：點(diǎn)在圓內(nèi)且不為圓心，故,

所以點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)橢圓方程為，則，

所以，故曲線的方程為

（Ⅱ）設(shè),則,則直線的斜率為，又，所以直線的斜率是，記，設(shè)直線的方程為，由題意知，由得： .∴，

∴，由題意知， ，

所以，

所以直線的方程為，令，得，即.

可得.

所以，即

（其他方法相應(yīng)給分）