Question

（08年福州質(zhì)檢二）（12分）

如圖，直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點(diǎn).

    （Ⅰ）求與平面A₁C₁CA所成角的大小；

    （Ⅱ）求二面角B―A₁D―A的大小；

    （Ⅲ）試在線(xiàn)段AC上確定一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A₁BD.

Answer 1

解析：（Ⅰ）連接A₁C.∵A₁B₁C₁－ABC為直三棱柱，∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥BC.

    ∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A₁C₁CA. ……………1分

    ∴為與平面A₁C₁CA所成角，

.

∴與平面A₁C₁CA所成角為.…………3分

 

（Ⅱ）分別延長(zhǎng)AC，A₁D交于G. 過(guò)C作CM⊥A₁G 于M，連結(jié)BM，

    ∵BC⊥平面ACC­₁A₁，∴CM為BM在平面A₁C₁CA內(nèi)的射影，

    ∴BM⊥A₁G，∴∠CMB為二面角B―A₁D―A的平面角，………………………5分

    平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點(diǎn)，

    ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，，.……7分

    即二面角B―A₁D―A的大小為.……………………8分

（Ⅲ）取線(xiàn)段AC的中點(diǎn)F，則EF⊥平面A₁BD.……………9分

證明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱柱，∴B₁C₁//BC，

∵由（Ⅰ）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，……………10分

∵EF在平面A₁C₁CA內(nèi)的射影為C₁F，當(dāng)F為AC的中點(diǎn)時(shí)，

C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D.

同理可證EF⊥BD，∴EF⊥平面A₁BD.……………………12分

解法二：

（Ⅰ）同解法一……………………3分

（Ⅱ）∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱柱，C₁C=CB=CA=2，

AC⊥CB，D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點(diǎn).

建立如圖所示的坐標(biāo)系得：

C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），

C₁（0，0，2）， B₁（2，0，2）， A­₁（0，2，2），

D（0，0，1）， E（1，0，2）.………………6分

，設(shè)平面A₁BD的法向量為，

  .…………6分

平面ACC₁A₁­的法向量為=（1，0，0），.………7分

即二面角B―A₁D―A的大小為.…………………8分

（Ⅲ）F為AC上的點(diǎn)，故可設(shè)其坐標(biāo)為（0，，0），∴.

由（Ⅱ）知是平面A₁BD的一個(gè)法向量，

欲使EF⊥平面A₁BD，當(dāng)且僅當(dāng)//.……10分

∴，∴當(dāng)F為AC的中點(diǎn)時(shí)，EF⊥平面A₁BD.…………………12分