Question

已知F為拋物線(xiàn)x²=ay（a＞0）的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)M為拋物線(xiàn)上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)交x軸于點(diǎn)N，設(shè)k₁，k₂分別為直線(xiàn)MO與直線(xiàn)NF的斜率，則k₁k₂=

-

1

2

．

Answer 1

分析：如圖所示，設(shè)M(x0，

x 2 0

a

)，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得y′=

2x

a

，利用導(dǎo)數(shù)的聚會(huì)意義可得切線(xiàn)的斜率為

2x0

a

．利用點(diǎn)斜式可得過(guò)點(diǎn)M的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程，令y=0得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，利用向量計(jì)算公式可得k₂=k_NF，k₁=k_MO．即可得出k₁k₂．

解答：解：如圖所示，設(shè)M(x0，

x 2 0

a

)，
∵y′=

2x

a

，∴切線(xiàn)的斜率為

2x0

a

．
則過(guò)點(diǎn)M的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程為：y=

2 x   0

a

(x-x0)+

x 2 0

a

，
令y=0得：xN=

1

2

x0，
可得N(

x0

2

，0)，F(0，

a

4

)，
∴k2=kNF=-

a

2x0

，
又k1=kMO=

x 2 0 a

x0

=

x0

a

，
故k1k2=-

1

2

，
故答案為-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切的位置關(guān)系、切線(xiàn)的方程、斜率的計(jì)算公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．