Question

【題目】設滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列， ， ， 為階“期待數(shù)列”：

①；

②.

（）分別寫出一個單調(diào)遞增的階和階“期待數(shù)列”.

（）若某階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式.

（）記階“期待數(shù)列”的前項和為，試證： .

Answer 1

【答案】(1)三階： ， ， 四階： ， ， ， ．(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）借助新定義利用等差數(shù)列，寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；

（Ⅱ）利用某階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，通過公差為0，大于0．小于0，分別求解該數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）判斷k=n時， ，然后證明k＜n時，利用數(shù)列求和以及絕對值三角不等式證明即可.

試題解析：

（）三階： ， ， 四階： ， ， ， ．

（）設等差數(shù)列， ， ， ， 公差為，

∵，

∴，

∴，即，

∴且時與①②矛盾，

時，由①②得： ，

∴，即，

由得，即，

∴，

令，

∴，

時，同理得，

即，

由得即，

∴，

∴時， ．

（）當時，顯然成立；

當時，根據(jù)條件①得，

，

即，

，

∴，

∴．