Question

如圖，一張平行四邊形的硬紙片中，，。沿它的對角線把△折起，使點到達平面外點的位置。

（Ⅰ）△折起的過程中，判斷平面與平面的位置關(guān)系，并給出證明；

（Ⅱ）當(dāng)△為等腰三角形，求此時二面角的大小。

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）平面平面…………1分

證明：因為，，所以，。

因為折疊過程中，，所以，又，故平面。

又平面，所以平面平面�！�………5分

（Ⅱ）解法一：如圖，延長到，使，連結(jié)，�！�………6分

 

 

因為，，，，所以為正方形，。

由于，都與平面垂直，所以，可知。

因此只有時，△為等腰三角形。………………8分

在△中，，

又，所以△為等邊三角形，。………………10分

由（Ⅰ）可知，，所以為二面角的平面角，即二面角的大為�！�………12

解法二：以為坐標(biāo)原點，射線，分別為軸正半軸和軸正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，�！�……………6分

 

 

由（Ⅰ）可設(shè)點的坐標(biāo)為，其中，則有。      ①

因為△為等腰三角形，

所以或�！�……………8分

若，則有。

則此得，，不合題意。

若，則有。      ②

聯(lián)立①和②得，。故點的坐標(biāo)為。

由于，，所以與夾角的大小等于二面角的大小。

又，，

所以，即二面角的大小為。

【解析】略