Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點．
（1）證明：EF∥面PAD；
（2）證明：面PDC⊥面PAD．

Answer 1

分析：（1）證明EF∥面PAD，可用線面平行的判定定理，由題設及圖，可先證明EF∥AP再由線面平行的判定定理證明；
（2）證明面PDC⊥面PAD，由判定定理知要先證明線面垂直，由題設及圖知，可先證AP⊥面PCD，再由面面垂直的判定定理證明面面垂直．

解答：解：（1）如圖，連接AC，
∵ABCD為矩形且F是BD的中點，
∴AC必經(jīng)過F．（2分）
又E是PC的中點，
所以，EF∥AP．（4分）
∵EF在面PAD外，PA在面內(nèi)，
∴EF∥面PAD（6分）
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，
∴CD⊥面PAD，（8分）
又AP?面PAD，
∴AP⊥CD．（9分）
又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直線，AP⊥面PCD．（11分）
又AD?面PAD，所以，面PDC⊥面PAD．（12分）

點評：本題考查線面平行與面面垂直，掌握線面平行的判定定理與面面垂直的判定定理是解決本題的關鍵，立體幾何的證明題主要考查定理的使用及空間立體感知能力，觀察能力，推理判斷能力