Question

【題目】計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．

（Ⅰ）求在未來(lái)4年中，至多1年的年入流量超過(guò)120的概率；

（Ⅱ）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系；

年入流量
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)	1	2	3

若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬(wàn)元，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）根據(jù)題意先分別計(jì)算的概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布原理計(jì)算年、和年年入流量超過(guò)的概率即可；（Ⅱ）分別計(jì)算安裝臺(tái)、臺(tái)、臺(tái)發(fā)電機(jī)時(shí)水電站利潤(rùn)的均值，比較它們的大小，可得到應(yīng)安裝臺(tái)發(fā)電機(jī).

【解析】

試題分析：（Ⅰ）；（Ⅱ）臺(tái).

試題解析：（Ⅰ）依題意,,

,由二項(xiàng)分布，在未來(lái)年中至少有年流入量超過(guò)的概率為：

.

（Ⅱ）記水電站總利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元），由于水庫(kù)年入流量總大于，所以至少安裝臺(tái).

①安裝臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形：

由于水庫(kù)處入流量總大于，所以一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為，

對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)為，，

②安裝臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形：

當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)算，此時(shí)，所以

；

當(dāng)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

因此，

此時(shí)的分布列如下：

.

③ ②安裝臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形：

當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)算，此時(shí)，所以

；

當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，

此時(shí)，所以的分布列如下：

所以

綜上，欲使水電站年利潤(rùn)的均值達(dá)到最大值，應(yīng)安裝臺(tái)發(fā)電機(jī).