Question

已知函數(shù)

(1)求的值域；

(2)設(shè)，函數(shù)．若對任意，總存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)  ；(2)

【解析】

試題分析：（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于求出 的值，然后由的值，分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值和最小值即可得到的值域；（2）設(shè)函數(shù)在[0，2]上的值域是A，根據(jù)題意對任意，總存在，使，得到區(qū)間是A的子集，求出的導(dǎo)函數(shù)，分小于0和大于0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值和最小值，即可得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的值域，根據(jù)區(qū)間[0，2]是A的子集判斷出符合這一條件的情況，列出關(guān)于的不等式，求出不等式的解集即可得到滿足題意的取值范圍．

試題解析：（1），令，得或．         

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，

而，當(dāng)時，的值域是． 

(2)設(shè)函數(shù)在上的值域是A，

若對任意．總存在1,使，．                             

．

①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．              ，當(dāng)時，不滿足；

②當(dāng)時，，令，得或(舍去)   

（i）時，的變化如下表：

	0				2
		-	0	+
	0

．，解得．   

(ii)當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．

 ，當(dāng)時，不滿．

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是． 

考點(diǎn)：1.函數(shù)的值域；2.導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；3.分類討論思想的運(yùn)用.