Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），曲線的直角坐標(biāo)方程為，將曲線上的點(diǎn)向下平移1個單位，然后橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線．

（1）求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線和曲線相交于兩點(diǎn)，求三角形的面積．

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）

【解析】

（1）將曲線的參數(shù)方程參數(shù)消掉，得出其直角坐標(biāo)方程，由平移變換和伸縮變換得出曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）將曲線的參數(shù)方程化成標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，并代入曲線方程，由參數(shù)的幾何意義以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可得出三角形的面積．

（1）由可知，曲線的直角坐標(biāo)方程為，即

將曲線上的點(diǎn)向下平移1個單位，可得

由伸縮變換，得，則，即

即曲線的直角坐標(biāo)方程為．

（2）將曲線的參數(shù)方程化成標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為（為參數(shù)），

帶入曲線，有，設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，

所以

因?yàn)辄c(diǎn)到曲線的距離為

所以三角形的而積等于．