Question

【題目】已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，離心率，以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若經(jīng)過點的直線交橢圓于兩點，是否存在直線 ，使得到直線的距離滿足恒成立，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，，.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）若直線的斜率不存在,則直線為任意直線都滿足要求；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為：，與橢圓方程聯(lián)立有，結(jié)合韋達定理可得.則存在直線，使得到直線的距離滿足恒成立.

詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

∵，∴，又∵，

∴，由，

解得，，.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）若直線的斜率不存在,則直線為任意直線都滿足要求；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為：，

設(shè)，（不妨令），

則，，

，，

∵，∴ ，解得.

由得，

，，.

綜上可知存在直線，使得到直線的距離滿足恒成立.