Question

【題目】如圖所示，∠PAQ是村里一個小湖的一角，其中∠PAQ=60°．為了給村民營造豐富的休閑環(huán)境，村委會決定在直線湖岸AP與AQ上分別建觀光長廊AB與AC，其中AB是寬長廊，造價是800元/米；AC是窄長廊，造價是400元/米；兩段長廊的總造價預(yù)算為12萬元（恰好都用完）；同時，在線段BC上靠近點B的三等分點D處建一個表演舞臺，并建水上通道AD（表演舞臺的大小忽略不計），水上通道的造價是600元/米．

（1）若規(guī)劃寬長廊AB與窄長廊AC的長度相等，則水上通道AD的總造價需多少萬元？
（2）如何設(shè)計才能使得水上通道AD的總造價最低？最低總造價是多少萬元？

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)AB=AC=x（單位：百米），

則寬長廊造價為8x萬元，窄長廊造價為4x萬元，

故兩段長廊的總造價為12x萬元，所以12x=12，得x=1，

又∠PAQ=60°，△ABC是邊長為1的正三角形，

又點D為線段BC上靠近點B的三等分點，所以BD= ，

在△ABD中，由余弦定理得

AD2=BA2+BD2﹣2BABDcos∠ABD=1+ ﹣2× × = ，即AD= ．

又水上通道的造價是6萬元/百米，所以水上通道的總造價為2 萬元

（2）解：設(shè)AB=x，AC=y（單位：百米），則兩段長廊的總造價為8x+4y=12，

即2x+y=3，在△ABC中，由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos∠BAC=x2+y2﹣2xy =x2+y2﹣xy，

在△ABC與△ABD中，由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD，得

= ，又BC=3BD，

得AD2= x2+ y2+ xy= x2+ （3﹣2x）2+ x（3﹣2x）= x2﹣ x+1

= （x﹣ ）2+ ，當且僅當x= 時，AD有最小值 ，

故總造價有最小值3 萬元，此時y= ，

即當寬長廊AB為 百米（75米）、窄長廊AC為 百米（150米）時，

水上通道AD有最低總造價為3 萬元．

【解析】【（1）設(shè)AB=AC=x（單位：百米），由題意可得12x=12，即x=1，求得BD= ，在△ABD中，由余弦定理求得AD的長，即可得到所求造價；（2）設(shè)AB=x，AC=y（單位：百米），則兩段長廊的總造價為8x+4y=12，即2x+y=3，y=3﹣2x，運用余弦定理求得BC，再在△ABC與△ABD中，由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD，求得AD2的解析式，化簡整理，運用配方，即可得到所求最小值，及x，y的值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本不等式在最值問題中的應(yīng)用的相關(guān)知識，掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”．