Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)n∈N* ， 證明： + +…+ ＜ln（n+1）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)? ，所以 （x≥0）

已知f（x）≥ag（x）恒成立，即 恒成立．

設(shè) （x≥0），

則 ．

當(dāng)a≤1時(shí)，φ'（x）≥0（僅當(dāng)x=0，a=1時(shí)等號(hào)成立），

∴φ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又φ（0）=0，

∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

即a≤1時(shí)， 恒成立（僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立）．

當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)x∈（0，a﹣1]恒有φ'（x）＜0，

∴φ（x）在（0，a﹣1]上單調(diào)遞減，

∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0．

即a＞1時(shí)，存在x＞0，使φ（x）＜0，

故知 不恒成立．

綜上可知，a的取值范圍是（﹣∞，1]．

（2）證法一：在（1）中取a=1，可得 ，x＞0．

令 ，n∈N*，則

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)， ，結(jié)論成立

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即 ．

那么當(dāng)n=k+1時(shí)， ，

即結(jié)論成立．

由①②可知，結(jié)論對(duì)n∈N*成立．

證法二：

在（1）中取a=1，可得ln（1+x）＞ ，x＞0

令x= ，n∈N*，則 ．

故有 ， ，…， ，

上述各式相加可得 ，

結(jié)論得證

證法三：

如圖， 是由曲線 ，x=n及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，

而 是圖中所示各矩形的面積和，

∴ ，結(jié)論得證．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 恒成立．設(shè) （x≥0），根號(hào)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）法一：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明，法二：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；法三：根據(jù)定積分的意義證明即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．