Question

函數(shù)f（x）=2sin²ωx+

3

sin2ωx-1  （ω＞0）
①若對(duì)任意x∈R恒有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），求|x₁-x₂|的最小值；
②若f（x）在[0，

π

4

]上是單調(diào)函數(shù)，求整數(shù)ω的值．

Answer 1

分析：①先根據(jù)二倍角公式和兩角和與差的正弦公式化簡，再由f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）可確定x₁、x₂分別是函數(shù)y=f（x）的最小值、最大值點(diǎn)，根據(jù)最小、最大值點(diǎn)間最近的距離為半個(gè)周期，得|x₁-x₂|的最小值

π

2ω

．
②將2ωx-

π

6

看做一個(gè)角θ，進(jìn)而可確定θ的取值范圍，再由y=2sinθ在[-

π

6

，

ωπ

2

-

π

6

]上單調(diào)得到

ωπ

2

-

π

6

≤

π

2

，即可得到ω的范圍，結(jié)合ω為整數(shù)可確定最后答案．

解答：解：f（x）=2sin（2ωx-

π

6

），
①由f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）知：x₁、x₂分別是函數(shù)y=f（x）的最小值、最大值點(diǎn)，
最小、最大值點(diǎn)間最近的距離為半個(gè)周期，得

π

2ω

；
②視2ωx-

π

6

為一個(gè)角θ，則θ∈[-

π

6

，

ωπ

2

-

π

6

]，
函數(shù)y=2sinθ在[-

π

6

，

ωπ

2

-

π

6

]上單調(diào)，則

ωπ

2

-

π

6

≤

π

2

，得0＜ω≤

4

3

，
又ω為整數(shù)，∴ω=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式的應(yīng)用和三角函數(shù)的基本性質(zhì)--單調(diào)性和周期性．考查考生對(duì)三角基礎(chǔ)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，以及綜合運(yùn)用能力．