Question

【題目】教材曾有介紹：圓上的點(diǎn)處的切線方程為.我們將其結(jié)論推廣：橢圓上的點(diǎn)處的切線方程為，在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用.已知，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求的值

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓上的兩點(diǎn)分別作該橢圓的兩條切線，且與交于點(diǎn).當(dāng)變化時(shí)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)相切利用判別式即可求解；

（2）求出直線的方程，求出弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離，表示出的面積，再求最大值.

（1）將直線代入橢圓方程，

可得：，

由直線和橢圓相切：，，

解得：；

（2）橢圓方程，

設(shè)，

則兩點(diǎn)處的切線分別為：

，，兩條直線交于點(diǎn)，

則，，即兩點(diǎn)在直線上，

所以直線的方程為，

所以到直線的距離，

由得：，是方程的兩根，

，

，

所以的面積：

，

根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

所以的面積，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)面積取得最大值.