已知圓
直線
與圓
相切，且交橢圓
于
兩點，
是橢圓的半焦距，
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）O為坐標原點，若
求橢圓
的方程；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的條件下，設橢圓的左右頂點分別為A，B，動點
，直線AS，BS與直線
分別交于M,N兩點，求線段MN的長度的最小值.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）橢圓的方程為
；(Ⅲ)
.
解析試題分析：（Ⅰ）直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑.設圓的圓心為
半徑分別為
，直線的方程為
.若直線與圓相切，則圓心到直線的距離
，將已知條件代入這個公式，即可得的值.
(Ⅱ)將
代入得：
得關于
的二次方程.設
則
是這個方程的兩個根.因為，所以
，再結合韋達定理，可得一個含
的等式，與
聯(lián)立解方程組即可求得的值.
(Ⅲ)思路一、在（Ⅱ）的條件下，橢圓的方程為：，動點，則將其代入橢圓方程，便得：
①.設
，
，則
.兩式相乘再利用①式可消去
得
，再用重要不等式便可得線段MN的長度的最小值.
思路二、選定一個量作為變量，其余的量都用這個量來表示，最終用這個量表示出線段MN的長度.
那么選哪 一個量作為變量呢？顯然直線AS的斜率存在，設為
且
，然后用表示出點
的坐標，從而表示出線段MN的長度.再用重要不等式便可得線段MN的長度的最小值.
試題解析：（Ⅰ）直線
與圓
相切,所以
4分
(Ⅱ) 將代入得：得:
①
設則
②
因為
由已知
代人②
所以橢圓的方程為 8分
(Ⅲ)法一、在（Ⅱ）的條件下，橢圓的方程為：，將動點的坐標代入橢圓方程，便得： ①
設，，則.兩式相乘得
②
由①得：
，代入②得：，顯然
異號.
所以線段MN的長度
，當
時取等號.
法二、顯然直線AS的斜率存在，設為且則
依題意
，由
得：
設
則
即
，又B（2，0）所以
BS：
由
所以
時： &n
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在直角坐標系中，
為坐標原點，如果一個橢圓經過點P(3,
),且以點F(2,0)為它的一個焦點.
（1）求此橢圓的標準方程；
（2）在（1）中求過點F(2,0)的弦AB的中點M的軌跡方程.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的左、右焦點和短軸的兩個端點構成邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）過點
的直線
與橢圓
相交于
，
兩點．點
，記直線
的斜率分別為
，當
最大時，求直線的方程．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知定點F(2,0)和定直線
，動圓P過定點F與定直線相切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C
（1）求曲線C的方程.
（2）若以M(2,3)為圓心的圓與拋物線交于A、B不同兩點，且線段AB是此圓的直徑時，求直線AB的方程
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
（
）的右焦點
，右頂點
,右準線
且
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）動直線
：
與橢圓有且只有一個交點
，且與右準線相交于點
，試探究在平面直角坐標系內是否存在點
，使得以
為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點
坐標；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
拋物線
的焦點均在
軸上，
的中心和 的頂點均為坐標原點
從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：
 |  |  |  |  |
|  |  |  |  |
的方程的點的坐標；的標準方程.查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖已知橢圓的中點在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且過點
，平行于
的直線
在y軸的截距為
，且交橢圓與
兩點，
（1）求橢圓的方程；（2）求
的取值范圍；（3）求證：直線
、
與x軸圍成一個等腰三角形，說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
拋物線M：
的準線過橢圓N：
的左焦點，以坐標原點為圓心，以t（t>0）為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點A與點B，直線AB與x軸相交于點C.
（1）求拋物線M的方程.
（2）設點A的橫坐標為x1，點C的橫坐標為x2，曲線M上點D的橫坐標為x1+2，求直線CD的斜率.
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為橢圓
上任意一點，
、
為左右焦點．如圖所示：
的中點為
，求證
；
，求
的值．