Question

已知二次函數(shù)，f（x）=x²+ax（a∈R）．
（1）若函數(shù)y=f(sinx+

3

cosx)(x∈R)的最大值為

16

3

，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)a=2時，設(shè)n∈N*，S=

n

f(n)

+

n+1

f(n+1)

+…+

3n-1

f(3n-1)

+

3n

f(3n)

，求證：

3

4

＜S＜2；
（3）當(dāng)a＞2時，求證f（sin²xlog2sin²x+cos²xlog2cos²x）≧1-a，其中x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

（k∈z）

Answer 1

分析：（1）利用輔助角公式，我們可以確定函數(shù)y=f(sinx+

3

cosx)(x∈R)的解析式，進(jìn)而利用換無法，可將問題轉(zhuǎn)化了一個二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，進(jìn)而得到答案．
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，利用數(shù)列求和的辦法可以現(xiàn)S，再根據(jù)S的單調(diào)性，即可得到答案．
（3）由x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

，利用換元法我們可以將不等與左邊對應(yīng)的函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（t）=tlog₂t+（1-t）log₂（1-t），進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷出其最值，并將問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)恒成立問題，最后得到結(jié)論．

解答：解：（1）令t=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，∵x∈R，∴-2≤t≤2，y=t2+at=(t+

a

2

)2-

a

4

，
當(dāng)a＜0時，t=2時，y最大=4-2a=

16

3

，解得：a=-

2

3

，
此時，f(x)=(x-

1

3

)2-

1

9

，∴f(x)最小值=-

1

9

．
當(dāng)a≥0時，t=2時，y最大=4+2a=

16

3

，解得：a=

2

3

此時，f(x)=(x+

1

3

)2-

1

9

，∴f(x)最小值=-

1

9

綜合上述，條件滿足時，f（x）的最小值為-

1

9

（5分）
（2）∵S=

n

f(n)

+

n+1

f(n+1)

+∧+

3n-1

f(3n-1)

+

3n

f(3n)

=

1

n+2

+

1

n+3

+∧+

1

3n+1

+

1

3n+2

設(shè)S(n)=

1

n+2

+

1

n+3

+∧+

1

3n+1

+

1

3n+2

；
則S(n+1)=

1

n+3

+

1

n+4

+∧+

1

3n+4

+

1

3n+5

S(n+1)-S(n)=

1

3n+3

+

1

3n+4

+

1

3n+5

-

1

n+2

＞

3

3n+5

-

1

n+2

=

1

(3n+5)(n+2)

＞0
∴S（n）在n∈N^*時單調(diào)遞增，∴S=S(n)≥S(1)=

47

60

＞

45

60

=

3

4

又

1

n+2

＞

1

n+3

＞∧＞

1

3n+1

＞

1

3n+2

∴S＜

1

n+2

(2n+1)=2-

3

n+2

＜2∴綜上有：

3

4

＜S＜2成立．（5分）
（3））∵x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

(k∈Z)，∴sin²x，cos²x∈（0，1），
又sin²x+cos²x=1，故設(shè)t=sin²x，則有cos²x=1-t
設(shè)f（t）=tlog₂t+（1-t）log₂（1-t）（其中t∈（0，1））f′(t)=log2t+log2e-log2(1-t)-log2e=log2

t

1-t

令f'（t）=0，得t=

1

2

當(dāng)0＜t＜

1

2

時，f'（t）＜0，所以f（t）在（0，

1

2

）單調(diào)遞減，
當(dāng)

1

2

＜t＜1時，f'（t）＞0，所以f（t）在（

1

2

，1）單調(diào)遞增，
∴t=

1

2

時f（t）取最小值等于f(

1

2

)=

1

2

log2

1

2

+

1

2

log2

1

2

=log2

1

2

=-1
即有sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x≥-1
當(dāng)日a＞2時，f（x）=x²+ax的對稱軸x=-

a

2

＜-1，
∴f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x）≥f（-1）=1-a（5分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，不等式的綜合，三角函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．