Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標原點，且當x=

1

4

時，函數(shù)f（x）有最小值-

1

8

．數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

2

anan+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使得T_n＜

m

20

對所有n∈N都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析：（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），由x=

1

4

時，函數(shù)f（x）有最小值-

1

8

，可得-

b

2a

=

1

4

，-

b2

4a

=-

1

8

，解出即可得到f（x）解析式，根據(jù)an=

a1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即可求得a_n，注意檢驗n=1時的情況；
（2）由（1）寫出bn表達式，并進行適當變形，利用裂項相消法即可求得T_n，T_n＜

m

20

對所有n∈N^*都成立等價于T_n的最大值小于

m

20

，其最大值易求；

解答：解：（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），
由于當x=

1

4

時，f（x）有最小值-

1

8

，
所以

- b 2a = 1 4 -b2 4a =- 1 8

，解得a=2，b=-1，
所以f（x）=2x²-x，
又點（n，S_n）（n∈N^*），均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
所以S_n=2n²-n，
當n=1時，a1=S1=2×12-1=1，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(2n2-n)-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3；
a₁=1也適合上式，
所以a_n=4n-3（n∈N^*）．
（2）由（1）得b_n=

2

anan+1

=

2

(4n-3)(4n+1)

=

1

2

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），
所以T_n=

1

2

[（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）]=

1

2

（1-

1

4n+1

）．
因此，要使

1

2

（1-

1

4n+1

）＜

m

20

（n∈N^*）成立，m必須且只需滿足

1

2

≤

m

20

，即m≥10，
故滿足要求的最小正整數(shù)m為10．

點評：本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力，綜合性強，對能力有一定要求．