Question

如圖，過圓x²+y²=4與x的兩個交點A、B，作圓的切線AC、BD，再過圓上任意一點H作圓的切線，交AC、BD于C、D兩點，設(shè)AD、BC的交點為R．
（1）求動點R的軌跡E方程；
（2）過曲線E的右焦點作直線l交曲線E于M、N兩點，交y軸于P點，記

PM

=λ1

MF

，

PN

=λ2

NF

，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)H點的坐標為（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4．由題意得以H為切點的圓的切線的方程為x₀x+y₀y=4．進而求出點C，D的坐標，可求出直線AD與BC的方程，聯(lián)立兩條直線的方程可得動點R的軌跡方程．
（2）由（1）得曲線E是焦點在x軸上的橢圓且其右焦點為F（

3

，0），分情況討論①當直線l的斜率為0時，M，N，P三點在x軸上，得M，N，P的坐標進而表示出λ₁+λ₂的數(shù)值．②當直線l的斜率不為0時，設(shè)直線MN的方程為：x=my+

3

，則點P的坐標為（0，-

3

m

），且設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．再表達出λ₁+λ₂的表達式結(jié)合著根與系數(shù)的關(guān)系得到其為定值-8．

解答：解：（1）設(shè)H點的坐標為（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4
由題意得y₀≠0，且以H為切點的圓的切線的斜率為：-

x0

y0

，
故切線的方程為：y-y0=-

x0

y0

(x-x0)
即以H為切點的圓的切線方程為：x₀x+y₀y=4．
∵A（-2，0），B（2，0）將x=±2代入上述方程得C（-2，

4+2x0

y0

），D（2，

4-2x0

y0

）
則直線AD的方程為：

y

4-2x0 y0

=

x+2

4

，直線BC的方程為：

y

4+2x0 y0

=

x+2

-4

，
將兩式相乘并化簡得動點R的軌跡方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）由（1）得曲線E是焦點在x軸上的橢圓且其右焦點為F（

3

，0），
①當直線l的斜率為0時，M，N，P三點在x軸上，
不妨設(shè)M（2，0），N（-2，0）且P（0，0），此時有|PM|=2，|MF|=2-

3

，|PN|=2，|NF|=2+

3

所以λ₁+λ₂=

PM

MF

+

PN

NF

=

|PM|

|MF|

-

|PN|

|NF|

=-

2

2- 3

-

2

2+ 3

=-8．
②當直線l的斜率不為0時，設(shè)直線MN的方程為：x=my+

3

則點P的坐標為（0，-

3

m

），且設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立

x=my+ 3 x2+4y2=4

消去x可得：(m2+4)y2+2

3

my-1=0
則y1+ y2=

-2 3 m

m2+4

，y1y2=

-1

m2+4

所以λ₁+λ₂=

y1+ 3 m

- y1

+

y2+ 3 m

-y2

=-2-

3

m

•

y1+y2

y1y2

=-8．
所以λ₁+λ₂為定值為-8．

點評：定值、定點問題是高考考查的重點，此類問題多與直線方程、圓錐曲線方程有關(guān)，解決此類問題得到關(guān)鍵是根據(jù)題意結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系正確的表達出λ₁+λ₂的表達式，進行化簡可得定值．