Question

如圖，過圓x²+y²=4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，作圓的切線AC、BD，再過圓上任意一點(diǎn)H作圓的切線，交AC、BD于C、D兩點(diǎn)，設(shè)AD、BC的交點(diǎn)為R，
(1)求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡E的方程；
(2)過曲線E的右焦點(diǎn)F作直線l交曲線E于M、N兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，且記=λ₁，=λ₂，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

解：(1)設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(x₀，y₀)，則x+y=4，
由題意可知y₀≠0，且以H為切點(diǎn)的圓的切線的斜率為：-，
故切線方程為：y-y₀=-(x-x₀)，
展開得x₀x+y₀y=x₀²+y₀²=4，
即以H為切點(diǎn)的圓的切線方程為：x₀x+y₀y=4，
∵A(-2，0)，B(2，0)，
將x=±2代入上述方程可得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為C(-2，)，D(2，)，
則l_AD：，①，
及l(fā)_BC：，②
將兩式相乘并化簡可得動(dòng)點(diǎn)R的軌跡E的方程為：x²+4y²=4，即+y²=1。
(2)由(1)知軌跡E為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓且其右焦點(diǎn)為F(，0)，
(ⅰ)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，M、N、P三點(diǎn)在x軸上，
不妨設(shè)M(2，0)，N(-2，0)，且P(0，0)，
此時(shí)有|PM|=2，|MF|=2-，|PN|=2，|NF|=2+，
所以λ₁+λ₂=；
(ⅱ)當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程是：x=my+(m≠0)，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，-)，
且設(shè)點(diǎn)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，
聯(lián)立消去x可得：(m²+4)y²+2my-1=0，
則y₁+y₂=，y₁y₂=，
λ₁+λ₂==-8(定值)．