Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，若，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程與離心率；

（2）過(guò)點(diǎn)做直線與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)；若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)，得到，得到點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，代入橢圓方程，求出，再得到，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，得到，直線斜率存在時(shí)，設(shè)為，與橢圓聯(lián)立，得到的范圍和，，從而表示出，得到其范圍，再得到的取值范圍.

（1）因?yàn)?/span>，故，故橢圓，

點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，

將代入橢圓中，得

解得，

所以，

所以橢圓的方程為，離心率；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，所以．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，消去整理得，

由，可得，

，

所以

，

所以，

因?yàn)?/span>恒成立，

所以，

即實(shí)數(shù)的取值范圍為．